5.1 题5.1—5.6是填充题，题目要求是从供选择的答案中选出应填入叙述中的□内的正确答案。
设 ，则 上可以定义A个二元运算，其中有4个运算 ，其运算如表5.1所示：表5.1
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a |
b |
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a |
b |
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a |
b |
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a |
b |
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a |
a |
A |
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a |
a |
b |
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a |
b |
a |
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a |
a |
b |
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b |
a |
a |
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b |
b |
a |
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b |
a |
a |
|
b |
a |
b |
则只有B满足交换律，C满足幂等律，D有幺元，E有零元。
供选择的答案
A：①4；②8；③16；④2。
B，C，D，E：
⑤ 和 ；⑥ 和 ；⑦ 和 ；⑧ ；⑨ ；⑩ 。
5.2 设 ，其中 为有理数集合，定义S上的二元运*， 有 ，
则（1） A， B。
（2） 是C。
（3） 的幺元是D。
（4） E。
供选择的答案
A，B：
① ；② ；③ 。
C：④可交换的；⑤可结合的；⑥不是可换交也不是可结合的。
D：⑦ ；⑧ 。
E：⑨只有唯一的逆元。⑩ 时，元素 有逆元。
5.3 R为实数集，定义以下6个函数 有
，
，
，
，
那么，其中有A个是R上的二元运算，有B个是可交换的，C个是可结合的，D个是有幺元，E个有零元的。
供选择的答案
A，B，C，D，E：
①0；②1；③2；④3；⑤4；⑥5；⑦6。
5.4 （1）设 ，其中+和·分别表示普通加法和乘法，则V有A个不同的子代数，且这些子代数B。
（2）令 ，则 是 的C。
（3）令 ，则 不是V的子代数，其原因是 D。
（4）令 ，则 不是V的子代数，其原因是 E。
供选择的答案
A：①有限；②无限；
B：③含有有限个元素；④含有无限个元素；⑤有的含有有限个元素；有的含有无限个元素。
C：⑥平凡的子代数；⑦非平凡的子代数。
D，E：⑧对加法不封闭；⑨对乘法不封闭；⑩对加法和乘法都不封闭。
5.5 设 ，其中·为普通乘法，对任意 令 ， ， ， ，则其中A个是 的自同态，它们是B，有C个是单自同态而不是满自同态，D个是满自同态而不是单自同态，E个是自同构。
供选择的答案有：
A，C，D，E：
①0；②1；③2；④3；⑤4；⑥5。
B：⑦ ；⑧ ；⑨ ；⑩
5.7 设 ，问下面定义的二元运算*是否为S上的二元运算？
（1） 与 的最大公约数。
（2） 与 的最小公倍数。
（3） 大于等于 的最小整数。
（4） 。
（5） 质数 的个数，其中 。
5.8 下面各集合都是N的子集，它们在普通加法运算上是否封增长？
（1）{ 的其次幂可以被16整除}。
（2）{ 与5互质}。
（3）{ 是30的因子}。
（4）{ 是30的倍数}。
5.9 设 ，其中 的运算表分别给定如下：
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(1) |
* |
a |
b |
C |
(2) |
* |
a |
b |
c |
(3) |
* |
a |
b |
c |
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a |
a |
b |
C |
a |
a |
b |
C |
a |
a |
b |
C |
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b |
b |
c |
A |
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b |
a |
b |
c |
|
b |
b |
b |
c |
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c |
c |
a |
B |
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c |
a |
b |
c |
|
c |
c |
c |
c |
分别对以上每种情况讨论*运算的可交换性、幂等性，是否含有幺元以及S中的元素是否含有逆元.
5.10 设 ,其中模3加法,*表示模2乘法,试构造积代数 的运算表,并指出积代数的幺元。
5.11 设代数系统 ，其中 有 与 的最大公约数， 与 的最小公倍数， ，给出关于 和 运算的运算表。
5.12 设 是代数系统，其中 为非零实数的集合，分别地下述小题讨论 运算是否可交换、可结合，并求幺元和所有可逆元素的逆元。
（1）
（2） 。
（3） 。
5.13 设 为代数系统，其中 ， 。
（1）列出*的运算表。
（2）*是否有零元和幺元和所有可逆元素的逆元。
5.14 设 。其中 表示函数的合成，试给出 的运算表，并求出 的幺元和所有可逆元的逆元。
5.15 设 。在A上定义6个函数如下：
。
，其中 ， 为函数的复合。
（1）给出 的运算表。
（2）说明 的幺元和所有可逆元素的逆元。
